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Nach wie viel Abstand wird das XY-Koordinatensystem merklich verzerrt?

Nach wie viel Abstand wird das XY-Koordinatensystem merklich verzerrt?


Ich arbeite mit maritimen Sensoren, die Informationen über sich bewegende Objekte in Azimut, Entfernung und Höhe liefern, und wir konvertieren sie in XY-Koordinaten, damit unsere Anwendung sie verarbeiten kann.

Wir haben herausgefunden, dass die meisten Marinesysteme den Erdmittelpunkt als Bezugspunkt bei der Positionsberechnung betrachten, aber da wir x,y brauchten, berücksichtigen wir, dass wir beim Start unserer Software die Position unseres Bootes in Bezug auf die Erde notieren zentrieren und in XY-Koordinaten umwandeln, wobei die aktuelle Position unseres Bootes 0,0 (der Ursprung) wäre.

Das Boot kann sich mit bis zu 25 Knoten bewegen. Wenn wir also eine gute Strecke zurückgelegt haben, konvertieren wir alle XY-Koordinaten in der Software in Radius, Azimut und Höhe in Bezug auf den Erdmittelpunkt und konvertieren sie dann in das aktuelle x,y Position des Bootes (wobei die aktuelle Position der Ursprung des XY-Gitters ist). Das einzige Problem wäre die Mehrdeutigkeit der Position aller sich bewegenden Objekte, die der Sensor verfolgt.

Zwei Fragen:

  1. Ist das der beste Weg oder gibt es einen besseren Weg? Wir müssen mit XY-Koordinaten arbeiten.
  2. Wie viele Kilometer müsste ein Boot zurücklegen, damit das XY-Koordinatensystem aufgrund der Erdkrümmung fehlerhaft wird?

"Fehlerhaft" bezieht sich auf Ihre Genauigkeitsanforderungen. Schätzen wir daher die Genauigkeit anhand der zurückgelegten Strecke ab: Anhand eines solchen Ergebnisses können Sie entscheiden, wann Positionsberechnungen „fehlerhaft“ werden.

Ich verstehe die Frage so, dass die Kartierung in einem azimutalen äquidistanten Koordinatensystem durchgeführt wird, das um den Bootsursprung zentriert ist. Tatsächlich werden Polarkoordinaten verwendet, um die Positionen des Bootes in Bezug auf ihre Entfernungen vom Ursprung und ihre Winkel zu einer Standardrichtung (wie dem wahren Norden) an diesem Ursprung aufzuzeichnen. Die Positionen aller vom Boot aus beobachteten Objekte würden auf ihre Peilung (relativ zur Peilung des Bootes) und (wahren) Entfernungen vom Boot bezogen.

Über ziemlich große Entfernungen – vielleicht bis zu einigen Tausend Kilometern oder mehr – ist die Form der Erde einer Kugel so nahe, dass wir uns keine Sorgen über die geringfügige Abflachung von etwa einem Teil von 300 machen sollten. Dies ermöglicht uns einfache Berechnungen basierend auf Kugelgeometrie.

Die Berechnungen beinhalten alle drei Punkte: die Position eines gesichteten Objekts EIN, die Position des Bootes B, und der Ursprung bei C. Diese Punkte bilden ein Dreieck. Lassen Sie die gegenüberliegende Seite des Scheitels EIN Länge haben ein und sei der eingeschlossene Winkel am Scheitelpunkt EIN Sein Alpha, mit einer ähnlichen Konvention mit b, c, Beta, und Gamma für die anderen Seiten und Winkel. Es wird vorgeschlagen, den wahren Abstand zu ersetzen c zwischen EIN und B, berechnet mit dem sphärischen Kosinusgesetz über

S = cos(c) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)cos(gamma)

durch Entfernungen, die in den abgebildeten Koordinaten unter Verwendung des euklidischen Kosinusgesetzes berechnet wurden über

E = c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(gamma).

(S gibt Entfernungen in Bogenmaß, die durch Multiplikation mit dem effektiven Radius der approximierenden Kugel in euklidische Distanzen umgewandelt werden. Für ein Boot, das einige Stunden oder sogar einige Tage mit 25 Knoten fährt, sind diese Entfernungen gering: 25 Knoten weniger als ein halbes Grad pro Stunde oder etwa 0,0073 Radiant pro Stunde. Es würde fast sechs Tage dauern, um ein Radiant zu reisen.)

Betrachten wir die relativ Fehler der Abstände,

r = Quadrat(E) / ACos(S) - 1,

in Bezug auf ein gewisses Maß der Entfernungen ein und b zwischen Ursprung und Objekt oder Boot. Da die Formeln symmetrisch sind in ein und b, wir könnten genauso gut nehmen ein größer als b und schreibe b = ta wo t zwischen 0 und 1 liegt. Erweiterung dieses Verhältnisses als MacLaurin-Reihe in t durch dritte Ordnung, und dann ersetzen t durch b/a, gibt

r = b^4 sin(gamma)^2 / (6 * (a^2 + b^2 - 2ab cos(gamma)).

Dieser Ausdruck hängt ab von Gamma (der Winkel zwischen dem Boot und dem Objekt vom Ursprung aus gesehen). Es ist am kleinsten, wenn Gamma ist ein Vielfaches von 180 Grad, d. h. Objekt und Boot liegen auf dem gleichen Kurs. Dann liegt überhaupt kein Fehler vor (weil Abstände entlang vom Ursprung strahlenförmiger Linien korrekt sind). Der relative Fehler (der übrigens immer positiv ist und beweist, dass die Erde eine positive Krümmung hat) ist bei einem Zwischenwinkel am größten, wo er einen Wert von bis zu erreichen kann b^2/6. Dies ist eine universelle obere Schranke für den relativen Fehler, unabhängig vom Winkel Gamma. Es wird eine ausgezeichnete Näherung zur Verfügung gestellt b^4 ist viel kleiner als b^2. Das wird immer passieren b ist wesentlich kleiner als 1 Radiant - etwa 57 Grad oder über 3.000 nautische Meilen (nm).

Die Zweierpotenz in dieser einfachen Formel ist der entscheidende Teil: es zeigt, dass der maximale relative Fehler bei der Berechnung von Boot-zu-Objekt-Abständen nur quadratisch mit der wächst näher der beiden Entfernungen zum Ursprung. Wir können eine einfache Tabelle nur mit Kopfrechnen erstellen und unsere Berechnungen bei Entfernungen stoppen, die wesentlich kleiner als ein Radiant sind.

Distanz (nm) Distanz (Radiant) Maximaler relativer Fehler (%) ------------- ------------------ ----- --------------------- 1 0,0003 1,4E-6 10 0,003 1,4E-4 100 0,03 0,014 1000 0,29 1,4

Der relative Fehler von 1,4% ist selbst bei 1000 nm (ca. 1850 km) nicht schlecht. Fehler bei der Berechnung von Objekt-zu-Objekt-Abständen werden höchstens das Doppelte dieser Beträge betragen. Folglich ist die Verwendung dieser Projektion bis zu Entfernungen ausreichend, bei denen die relativen Fehler tolerierbar sind. Zu Frage (1) wären für größere Entfernungen andere Berechnungsformen ratsam.