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3.5: Wärmebudget an einem festen Standort - Geowissenschaften

3.5: Wärmebudget an einem festen Standort - Geowissenschaften


Stellen Sie sich einen Luftwürfel an einer festen Position relativ zum Boden vor (d. h. ein Eulersches Gerüst). Was bleibt, ist eine Gleichung, die besagt, dass die übertragene Wärmeenergie (∆q) pro Masseneinheit eine Temperaturänderung verursacht: ∆T = ∆q/CP.

Die Division dieser Gleichung durch das Zeitintervall ∆t ergibt eine Vorhersagegleichung für die Temperatur: ∆T/∆t = (1/CP)·∆q/∆t. Ein Wärmestrom F (J m–2 S–1, oder Wm–2) in das Volumen könnte die Temperatur erhöhen, aber ein Wärmefluss auf der anderen Seite könnte die Temperatur senken. Somit wird sowohl beim Zu- als auch beim Abfluss von Wärme Nettowärmeenergie in den Luftwürfel übertragen, wenn der Wärmestrom mit der Entfernung s über den Würfel abnimmt: ∆q/∆t = –(1/ρ)·∆F/∆ S. Der inverse Dichtefaktor erscheint, weil ∆q Energie ist pro Masseneinheit.

Wärmestromkonvergenz wie diese verursacht Erwärmung, während Wärmestromdivergenz bewirkt eine Abkühlung. Dies Flussgradient (Änderung mit dem Fluss über eine Entfernung) kann in jeder der drei kartesischen Richtungen auftreten. Somit lautet die Temperaturvorhersagegleichung:

( egin{align} frac{Updelta T}{Updelta t}=-frac{1}{ hocdot C_{p}}left[frac{Updelta F_{x}} {Updelta x}+frac{Updelta F_{y}}{Updelta y}+frac{Updelta F_{z}}{Updelta z} ight]+frac{Updelta S_{o} }{C_{p} cdot Updelta t} ag{3.16}end{align})

wobei zum Beispiel ∆Fja/∆y ist die Änderung des nordwärts gerichteten Flusses Fja über eine Nord-Süd-Distanz ∆y (Abbildung 3.5). Zusätzliche Wärmequellen können innerhalb des Würfels mit einer Rate von ∆S . auftretenÖ/∆t (J kg–1 S–1) etwa wenn Wasserdampf bereits im Würfel zu Flüssigkeit kondensiert und latente Wärme freisetzt. Die obige Gleichung ist die Eulersche Wärmehaushaltsgleichung, die manchmal auch als Wärmeerhaltungs- oder Wärmebilanzgleichung bezeichnet wird.

Erinnern Sie sich an Kapitel 2, dass wir einen kinematischen Fluss definieren können durch F = F/(ρ·CP) in Einheiten von K m s–1 (entspricht °C m·s–1). Somit ist Gl. (3.16) wird:

( egin{align} frac{Updelta T}{Updelta t}=-left[frac{Updelta F_{x}}{Updelta x}+frac{Updelta F_{y} }{Updelta y}+frac{Updelta F_{z}}{Updelta z} ight]+frac{Updelta S_{o}}{C_{p} cdot Updelta t} ag{ 3.17}end{ausrichten})

Wir können dieses Wärmebudget auch in Bezug auf die potentielle Temperatur umformulieren, denn ohne Bewegung des Luftwürfels selbst gilt ∆T = ∆θ.

( egin{align} frac{Updelta heta}{Updelta t}=-left[frac{Updelta F_{x}}{Updelta x}+frac{Updelta F_{y }}{Updelta y}+frac{Updelta F_{z}}{Updelta z} ight]+frac{Updelta S_{0}}{C_{p} cdot Updelta t} ag {3.18}end{ausrichten})

Sie haben sich vielleicht gefragt, warum in der vorherigen Abbildung ein ∆Fja/∆y war negativ, obwohl Wärme in den Würfel eingebracht wurde. Der Grund dafür ist, dass bei Gradienten die Differenzrichtung des Nenners gleich der Richtung des Zählers sein muss; z.B.:

( egin{ausrichten}frac{Delta F_{y}}{Delta y}=frac{F_{y Nordseite}-F_{y ext {Südseite}}}{y_{ ext {Nordseite}}-y_{ ext {Südseite}}}end{ausrichten})

Ähnliches gilt für Steigungen in x- und z-Richtung.

Wir müssen nicht nur Flüsse in jede Richtung in Gl. (3.16 bis 3.18), aber für jede Richtung kann es mehr als einen physikalischen Prozess geben, der Flüsse verursacht. Die anderen Prozesse, die wir als nächstes besprechen werden, sind Leitung (Bedingung), Advektion (adv), Strahlung (rad), und Turbulenz (Turbel):

( egin{align}frac{Updelta F_{x}}{Updelta x}=left.frac{Updelta F_{x}}{Updelta x} ight|_{adv}+ left.frac{Updelta F_{x}}{Updelta x} ight|_{cond}+left.frac{Updelta F_{x}}{Updelta x} ight|_{turb }+links.frac{Updelta F_{x}}{Updelta x} ight|_{rad} ag{3.20}end{align})

( egin{align}frac{Updelta F_{y}}{Updelta y}=left.frac{Updelta F_{y}}{Updelta y} ight|_{adv}+ left.frac{Updelta F_{y}}{Updelta y} ight|_{ ext{cond}}+left.frac{Updelta F_{y}}{Updelta y} ight |_{ ext{turb}}+left.frac{Updelta F_{y}}{Updelta y} ight|_{rad} ag{3.21}end{align})

( egin{ausrichten}frac{Updelta F_{z}}{Updelta z}=left.frac{Updelta F_{z}}{Updelta z} ight|_{adv}+ left.frac{Updelta F_{z}}{Updelta z} ight|_{ ext{cond}}+left.frac{Updelta F_{z}}{Updelta z} ight |_{ ext{turb}}+left.frac{Updelta F_{z}}{Updelta z} ight|_{ ext{rad}} ag{3.22}end{align} )

Zusätzlich zur Beschreibung dieser Flüsse werden wir typische Beiträge der latenten Wärme als Körperquelle (∆SÖ), was es uns ermöglicht, die vollständige Wärmehaushaltsgleichung in einem Eulerschen Rahmen zu vereinfachen.

Beispielanwendung

Nehmen Sie in der Abbildung unten an, dass der von Süden kommende Wärmestrom 5 W m . beträgt–2, und der Abgang an der Nordseite des Würfels beträgt 7 W m–2. (a) Wandeln Sie diese Flüsse in kinematische Einheiten um. (b) Wie groß ist der kinematische Flussgradient? (c) Berechnen Sie die Erwärmungsrate der Luft im Würfel unter der Annahme, dass der Würfel keine Feuchtigkeit hat und sich in einer festen Höhe mit einer Luftdichte von 1 kg m . befindet–3. Der Luftwürfel ist auf jeder Seite 10 m groß.

Finde die Antwort

Gegeben: Fy in= 5 W·m–2 , Fdu aus = 7 W·m–2, ∆y = 10 m ρ = 1,0 kg m–3 ,

Suche: a) Fx richtig = ? K·m s–1, Fx übrig = ? K·m s–1

b) ∆Fja/∆y = ? c) T/∆t = ? K s–1

Aus Anhang B: CP = 1004 J·kg–1·K–1

Vergessen Sie auch nicht, dass 1 W = 1 J s–1 .

Diagramm:

a) Wenden Sie Gl. (2.11): F = F / (ρ·CP)

Fy in = (5 J·s–1·m–2) / [ (1 kg m²–3) · (1004 J·kg–1·K–1) )] = 4,98x10–3 K·m·s–1 .

Fdu aus = (7 W·m–2) / [ (1 kg m²–3) · (1004 J·kg–1·K–1) )] = 6.97x10–3 K·m·s–1 .

b) Erinnern Sie sich an Kapitel 1, dass die Richtung von y so ist, dass y nach Norden zunimmt. Wenn wir die Südseite als Ursprung unseres Koordinatensystems wählen, dann ist ySüdseite = 0 und yNordseite = 10m. Somit ist der kinematische Flussgradient (Gl. 3.19)

(frac{Updelta F_{y}}{Updelta y}=frac{left[left(6.97 imes 10^{-3} ight)-left(4.98 imes 10^{- 3} ight) ight]left(mathrm{K}cdotmathrm{m}cdotmathrm{s}^{-1} ight)}{[10-0](mathrm{m })}
=1,99 imes 10^{-4} mathrm{K} cdot mathrm{s}^{-1})

Setzt man dies in Gl. (3.21) und dann die Gl. in Gl. (3.17) ergibt: ∆T/∆t = – 1,99x10–4 K·s–1.

Prüfen: Physik und Einheiten sind angemessen.

Exposition: Der Würfel wird nicht wärmer, sondern mit einer Geschwindigkeit von ca. 0,72 °C/Stunde kälter. Der Grund dafür ist, dass mehr Wärme austritt als eindringt, was einen positiven Wert für den Flussgradienten ergab.

Was passiert, wenn einer der beiden Flüsse negativ ist? Das bedeutet, dass die Wärme von Norden nach Süden fließt. Das Vorzeichen ist also entscheidend, um die Bewegung und Konvergenz von Wärme zu bestimmen.

Das AMS Glossary of Meteorology (2000) definiert Advektion als Transport einer atmosphärischen Eigenschaft durch die Massenbewegung der Luft (d. h. durch den Wind). Temperaturadvektion transportiert Wärme. Schnellere Winde, die heißere Luft wehen, verursachen größere advektiver Wärmestrom:

( egin{align}F_{x adv}=U cdot T ag{3.23}end{align})

( egin{align}F_{y adv}=V cdot T ag{3.24}end{align})

( egin{align}F_{z a d v}=W cdot T ag{3.25}end{align})

Aufwinde bewirken auch einen Wärmetransport, wobei Auftriebsaufwinde genannt werden Konvektion während nicht schwimmende Aufwinde genannt werden Advektion.

Um die Temperaturadvektion zu veranschaulichen, betrachten wir ein rechteckiges Luftpaket, das im Norden kälter und im Süden wärmer ist (Abbildung 3.6). Der Temperaturgradient ∆T/∆y = negativ in diesem Beispiel. Ein Südwind (V = positiv) bläst die Luft nach Norden zu einem Thermometer, das an einer stationären Wetterstation montiert ist. Zuerst erreicht die kalte Luft das Thermometer (Abbildung 3.6b). Später bläst die warme Luft über das Thermometer (Abbildung 3.6c). Das Thermometer erfährt also mit der Zeit eine Erwärmung (∆T/∆t = positiv) aufgrund von Advektion. Es ist also nicht der advektive Fluss Fx adv, aber der Gradient des advektiven Flusses (∆Fx adv/∆y), die eine Temperaturänderung verursacht.

Obwohl Abbildung 3.6 nur die horizontale Advektion in eine Richtung zeigt, müssen wir advektive Effekte in alle Richtungen, einschließlich der vertikalen, berücksichtigen. Für einen mittleren Wind mit nahezu gleichförmiger Geschwindigkeit:

( egin{ausrichten}frac{Delta F_{x adv}}{Delta x}=frac{U cdotleft(T_{ ext {Osten}}-T_{ ext {West }} ight)}{x_{ ext {Osten}}-x_{ ext {West}}}=U cdot frac{Updelta T}{Updelta x} ag{3.26}end{align })

( egin{align} frac{Updelta F_{yadv}}{Updelta y}=frac{Vcdotleft(T_{ ext {Nord}}-T_{ ext {Süd }} ight)}{y_{ ext {Nord}}-y_{ ext {Süd}}}=V cdot frac{Updelta T}{Updelta y} ag{3.27}end{align })

( egin{align}frac{Updelta F_{zadv}}{Updelta z}=W cdotleft[frac{Updelta T}{Updelta z}+Gamma_{d} ight] ag{3.28}end{align})

Aufsteigende Luft kühlt mit der trocken-adiabatischen Abklingrate von Γd = 9,8 °C km–1 . Da die Temperatur eines aufsteigenden Luftpakets nicht erhalten bleibt, muss dieser Term der Absturzrate zum Temperaturgradienten in der vertikalen Advektionsgleichung hinzugefügt werden. Der gleiche Faktor (ohne Vorzeichenwechsel) funktioniert auch für absteigende Luft.

Wir können Gl. (3,26 - 3,28) mit Gl. (3.11) um die Advektion in Form der potentiellen Temperatur θ auszudrücken:

( egin{align}frac{Updelta F_{xadv}}{Updelta x}=Ucdotfrac{Updelta heta}{Updelta x} ag{3.29}end{ ausrichten})

( egin{align}frac{Updelta F_{yadv}}{Updelta y}=Vcdotfrac{Updelta heta}{Updelta y} ag{3.30}end{ ausrichten})

( egin{align}frac{Updelta F_{zadv}}{Updelta z}=W cdot frac{Updelta heta}{Updelta z} ag{3.31}end{ ausrichten})

Beispielanwendung

Der Luftwürfel aus Abbildung 3.5 hat an seiner Südseite T = 12°C, steigt aber auf der Nordseite sanft auf 15°C an. Dieser 100 km² große Würfel bewegt sich mit 25 km/h nach Norden. Welche Erwärmungsrate bei einem feststehenden Thermometer kann der Temperaturadvektion zugeschrieben werden?

Finde die Antwort

Gegeben: V = 25 km h–1, ∆T = 15 – 12°C = 3°C, ∆y = 100 km

Gesucht: ∆T/∆t = ? °C h–1 wegen Advektion

Gl. anwenden. (3.27) in Gl. (3.21), und wenden Sie das in Gl. (3.17); nämlich ∆T/∆t = – V · (∆T/∆y) = – (25 km h–1) · [ 3°C / 100km] = – 0,75 °C h–1.

Prüfen: Physik und Einheiten sind vernünftig

Exposition: Beachten Sie, dass der horizontale Temperaturgradient positiv ist (T nimmt mit zunehmendem y zu) und V positiv ist (Südwind), dies führt jedoch zu einer negativen Temperaturänderung (Abkühlung). Wir nennen das Kaltluftadvektion, weil kältere Luft einströmt.

Beispielanwendung

Gegeben Abbildung 3.6b, außer dass ein höherer Wert in der Abbildung einem höheren Wert in der Atmosphäre entspricht (d. h. y durch z ersetzen). Angenommen, die 5°C-Luft befindet sich in einer relativen Höhe, die 500 m höher ist als die der 10°C-Luft. Wenn der Aufwind 500 m/(10 Stunden) beträgt, wie hoch ist die Temperatur am Thermometer nach 10 Stunden?

Finde die Antwort

Gegeben: ∆z = 500 m, TInitial = 5°C, W = 500 m/(10 h), ∆T/∆z = (5–10°C)/(500 m) = –0,01°C/m

Suche: TFinale = ? °C nach ∆t = 10 h.

Betrachtet man Abbildung 3.6c, könnte man vermuten, dass die endgültige Lufttemperatur 10°C betragen sollte. Aber Abbildung 3.6c gilt nicht für vertikal Advektion, da zusätzlich die adiabatische Expansion der aufsteigenden Luft erfolgt.

Die Luft, die in Abbildung 3.6b anfangs 10 °C hat, kühlt adiabatisch um 9,8 °C/km Aufstieg ab. Hier steigt es in den 10 h nur 0,5 km an, kühlt also 9,8°C/2 = 4,9°C ab. Seine Endtemperatur beträgt 10°C – 4,9°C = 5,1°C.

Prüfen: Physik & Einheiten vernünftig.

Exposition: Die Gleichungen liefern das gleiche Ergebnis. Unter Verwendung von Gl. (3.28, 3.21 & 3.17): ∆T/∆t = – W · (∆T/∆z + ΓD).

Da wir dies über ∆t = 10 h anwenden müssen, multiplizieren Sie beide Seiten mit ∆t: ∆T = – W ·∆t · (∆T/∆z + ΓD).

∆T = – (500m/10h) · (10h) · ( –0,01°C/m + 0,0098°C/m) = –500m · (–0,0002°C/m) = + 0,1°C.

Diese 0,1°C Erwärmung addiert zu der Anfangstemperatur von 5°C ergibt die Endtemperatur = 5,1°C.

Beispielanwendung

Die potentielle Lufttemperatur steigt um 5 °C pro 100 km Entfernung östlich. Bei Ostwind von 20 m s–1 bläst, ermitteln Sie den advektiven Flussgradienten und die mit dieser Advektion verbundene Temperaturänderung.

Finde die Antwort

Gegeben: ∆θ/∆x = 5°C/100 km = 5x10–5 °C m–1 U = – 20 m·s–1 (ein Ostwind kommt von Osten)

Suche: ∆F/∆y = ? °C s–1, und T/∆t = ? °C s–1

Gl. anwenden. (3.29): ∆F/∆x = (– 20 m·s–1)·(5x10–5 °C m–1) = –0,001 °C s–1

Gl. anwenden. (3.17) unter Vernachlässigung aller anderen Terme:

∆T/∆t = – ∆F/∆x = – (–0,001°C s–1) = +0,001 °C s–1

Prüfen: Physik sinnvoll. Vorzeichen angebracht, da wir in diesem Beispiel eine Erwärmung erwarten, da die warme Luft von Osten auf uns zugeblasen wird.

Exposition: ∆T/∆t = 3,6°C h–1, eine schnelle Erwärmungsrate.

Die molekulare Wärmeleitung wird durch mikroskopische Schwingungen und die Bewegung von Luftmolekülen verursacht, die einen Teil ihrer mikroskopischen kinetischen Energie auf benachbarte Moleküle übertragen. Leitung ist das, was Wärme von der festen Bodenoberfläche oder der flüssigen Ozeanoberfläche in die Luft leitet. Es leitet auch die Oberflächenwärme weiter unter die Erde. Winde werden für die Leitung nicht benötigt.

Der vertikale Wärmestrom aufgrund der Molekülleitung beträgt:

( egin{align} mathbb{F}_{z ext { cond}}=-k cdot frac{Updelta T}{Updelta z} ag{3.32}end{align} )

wobei k die molekulare Leitfähigkeit ist, die vom leitenden Material abhängt. Die molekulare Leitfähigkeit von Luft beträgt k = 2,53x10–2 W·m–1·K–1 auf Meereshöhe unter Standardbedingungen.

Die molekulare Leitfähigkeit für Luft ist klein und die vertikalen Temperaturgradienten sind in den meisten Teilen der Atmosphäre ebenfalls klein, daher ist eine gute Näherung:

( egin{align} frac{Updelta F_{xcond}}{Updelta x} approx frac{Updelta F_{ycond}}{Updelta y} approx frac{ Delta F_{z cond}}{Delta z} approx 0 ag{3.33}end{align})

In Bodennähe treten jedoch häufig große vertikale Temperaturgradienten im Boden der Atmosphäre von mehreren mm auf (Abbildung 3.7). Wenn Sie jemals an einem heißen Sommertag barfuß über einen schwarzen Asphaltparkplatz oder eine Straße gegangen sind, wissen Sie, dass die Oberflächentemperaturen brennend heiß sein können (über 50°C), obwohl die Lufttemperaturen auf der Höhe Ihres Knöchel können 30°C oder kühler sein. Dieser große Temperaturgradient kompensiert die geringe molekulare Leitfähigkeit der Luft, um wichtige vertikale Wärmeströme an der Oberfläche zu erzeugen.

Beispielanwendung

Angenommen, die Temperatur sinkt von 50 °C an der Erdoberfläche auf 30 °C in 5 mm Höhe, wie in Abbildung 3.7. Was ist der vertikale molekulare Wärmestrom?

Finde die Antwort

Gegeben: ∆T = –20 °C, ∆z = 0,005 m k = 2,53x10–2 W·m–1·K–1

Finden: Fz cond = ? W·m–2

Gl. anwenden. (3.32) :

Fz cond = –(2,53x10–2 W·m–1·K–1) · [–20°K/(0,005 m)] = 101,2 W·m–2

Prüfen: Physik und Einheiten sind vernünftig.

Exposition: Obwohl dies ein ziemlich großer Wärmestrom in den Boden der Atmosphäre ist, können andere nachfolgend beschriebene Prozesse (Turbulenz) diese Wärme über eine etwa 1 km tiefe Luftschicht verteilen.

Die untere Schicht der Atmosphäre, die den Einfluss der Erdoberfläche spürt (d. h. die untere Grenze der Atmosphäre), wird als atmosphärische Grenzschicht (ABL) bezeichnet. Diese 1 bis 2 km dicke Schicht ist oft turbulent, d. h. sie weist unregelmäßige Böen und Bewegungswirbel auf. Meteorologen haben einen effektiven turbulenten Wärmefluss entwickelt, der die Summe von molekularen und turbulenten Wärmeflüssen ist (Abbildung 3.7), wobei die Turbulenz im nächsten Abschnitt beschrieben wird. An der Oberfläche ist dieser effektive Fluss vollständig auf Molekülleitung zurückzuführen, und oberhalb von etwa 5 mm Höhe ist der effektive Fluss hauptsächlich auf Turbulenzen zurückzuführen.

Anstatt Gl. (3.32) Um molekulare Oberflächenwärmeflüsse zu berechnen, nähern sich die meisten Meteorologen dem effektiven turbulenten Oberflächenwärmefluss, FH, unter Verwendung sogenannter Volumenübertragungsbeziehungen. Bei windigen Bedingungen, bei denen die meisten Turbulenzen durch Windscherung (Änderung der Windgeschwindigkeit oder -richtung mit der Höhe) verursacht werden, können Sie Folgendes verwenden:

( egin{align} F_{H}=C_{H} cdot M cdotleft( heta_{sfc}- heta_{air} ight) ag{3.34}end{align} )

oder

( egin{align}F_{H} cong C_{H} cdot M cdotleft(T_{s f c}-T_{a i r} ight) ag{3.35}end{align})

wo (Tsfc,sfc) sind die Temperatur und die potentielle Temperatur an den obersten Molekülen (der Haut) der Erdoberfläche (TLuft ,Luft) sind die entsprechenden Werte in der Luft in 2 m über Grund und die Windgeschwindigkeit in 10 m Höhe ist M. Der empirische Koeffizient Ch heißt der Volumenwärmedurchgangskoeffizient. Es ist dimensionslos und variiert von etwa 2x10–3 über glatte Seen oder Salzseen auf ca. 2x10–2 für eine rauere Oberfläche wie einen Wald. Fh ist ein kinematischer Fluss.

Beispielanwendung

Der Wind weht mit 10 m s–1 in Höhe 10 m AGL. Die 2 m Lufttemperatur beträgt 15°C, aber die Oberflächenhauttemperatur beträgt 30°C. Wie groß ist der effektive oberflächenkinematische Wärmestrom? Angenommen, eine Oberfläche mittlerer Rauheit mit Ch = 0.01 .

Finde die Antwort

Gegeben: CH = 0,01 , M = 10 m s–1 bei z = 10 m, Tsfc = 30°C , Tair = 15°C bei z = 2 m

Finden: Fh = ? K·m·s–1

Gl. anwenden. (3.35): Fh = (1x10–2)·(10 m·s–1)·(30–15°C) = 1,5 °C·m·s–1

Prüfen: Physik und Einheiten sind vernünftig.

Exposition: Denken Sie daran, dass die Beziehung zwischen dynamischem und kinematischem Wärmestrom F . isth = ρ · CP · Fh. Somit ist der dynamische Wärmestrom Fh ≈ (1,2 kg m²–3)·(1004 Jkg–1 K–1)·(1,5 K·m·s–1) = 1807. Wm–2. Dies ist ein außergewöhnlich großer Oberflächenwärmestrom – größer als die durchschnittliche Sonneneinstrahlung von 1361 W·m–2. Ein solcher Wärmestrom könnte jedoch auftreten, wenn kühle Luft über eine sehr heiße Oberfläche strömt.

Bei ruhigen, sonnigen Bedingungen werden Turbulenzen durch Thermik der aufsteigenden warmen Luft aufgrund ihres Auftriebs erzeugt. Die dabei entstehenden Konvektionszirkulationen bewirken eine so starke Aufwirbelung der Luft, dass der ABL zu einem Brunnen wird gemischte Schicht (ML). Für diese Situation können Sie Folgendes verwenden:

( egin{align} F_{H}=b_{H} cdot w_{B} cdotleft( heta_{sfc}- heta_{ML} ight) ag{3.36}end{ ausrichten})

oder

( egin{align}F_{H}=a_{H} cdot w_{*} cdotleft( heta_{sfc}- heta_{ML} ight) ag{3.37}end{ ausrichten})

wo einh = 0,0063, ist eine dimensionslose empirische Mischschichttransportkoeffizient, und Bh = 5x10–4 heißt konvektiver Transportkoeffizient. θML ist die potentielle Temperatur der mittleren Mischschicht (in einer Höhe von 500 m für eine ML mit einer Dicke von 1 km).

Das wB Faktor in Gl. (3.36) heißt der Auftriebsgeschwindigkeitsskala (Frau–1):

( egin{align}w_{B}=left[frac{|g| cdot z_{i}}{T_{v ML}} cdotleft( heta_{v sfc}- heta_{v ML} ight) ight]^{1 / 2} ag{3.38}end{align})

für eine ML der Tiefe zich , und unter Verwendung der Erdbeschleunigung |g| = 9,8 m·s–2. (θv sfc ,v ML) sind virtuelle potentielle Temperaturen der Oberflächenhaut und in der mittleren Mischschicht und Tv ist die absolute virtuelle Temperatur (Kelvin) in der mittleren Mischschicht. Typische Aufwindgeschwindigkeiten in der Thermik liegen in der Größenordnung von 0,02·wB . In guter Näherung ist der Nenner in Gl. (3.38) kann angenähert werden durch θv ML (auch in Einheiten von K).

Eine andere konvektive Geschwindigkeitsskala w* heißt Deardorff-Geschwindigkeit:

( egin{align}w_{*}=left[frac{|g| cdot z_{i}}{T_{v}} cdot F_{H sfc} ight]^{1 / 3 } ag{3.39}end{ausrichten})

für einen oberflächenkinematischen Wärmestrom von FHsfc = Fh. Oft liegt die Deardorff-Geschwindigkeit in der Größenordnung von 1 bis 2 m·s–1, und die Beziehung zwischen den beiden Geschwindigkeitsskalen ist w* ≈ 0.08·wB.

Später in diesem Kapitel, im Abschnitt über das Bowen-Verhältnis, werden Sie andere Formeln sehen, mit denen Sie F . schätzen könnenh. Massentransferbeziehungen können für andere skalare Flüsse an der Oberfläche verwendet werden, einschließlich des Feuchtigkeitsflusses. Ersetzen Sie in diesem Fall Temperatur- oder Potentialtemperaturunterschiede durch Feuchtigkeitsunterschiede zwischen der Oberflächenhaut und der Mischschicht.

Beispielanwendung

Was ist der Wert von Fh An einem sonnigen Tag ohne Wind? Angenommen zich = 3 km, keine Wolken, trockene Luft, θML = 290 K undsfc = 320 K.

Finde die Antwort

Gegeben: θsfc = 320 K,ML = 290 K, zich = 3km,

Finden: Fz eff.sfc. = ? K·m·s–1

Wenn die Luft trocken ist, dann: θv = θ (aus Gl. 3.13). Wenden Sie Gl. (3.38) und (3.36):

(w_{B}=left[frac{left|9,8 mathrm{m} cdot mathrm{s}^{-2} ight|cdot 3000 mathrm{m}}{290 mathrm {K}} cdot(320 mathrm{K}-290 mathrm{K}) ight]^{1 / 2}
=left(3041mathrm{m}^{2}cdotmathrm{s}^{-2} ight)^{12}=55,1mathrm{m}cdotmathrm{s}^{- 1})

Fh = (5x10–4)·(55,1 m·s–1)·(320 K – 290 K) = 0,83 K·m·s–1

Prüfen: Physik und Einheiten sind angemessen.

Exposition: Beachten Sie, wie die Temperaturdifferenz zwischen der Oberfläche und der Luft in die Gl. für wB und nochmal für Fh. Somit führen größere Unterschiede zu einem größeren Oberflächenwärmestrom.

Beispielanwendung

Bestimmen Sie bei einem effektiven kinematischen Oberflächenwärmestrom von 0,67 K·m·s–1 die Deardorff-Geschwindigkeit für eine trockene, 1 km dicke Grenzschicht mit einer Temperatur von 25°C

Finde die Antwort

Gegeben: Fh = 0,67 K·m·s–1 , zich = 1 km = 1000 m , Tv = T (weil trocken) = 25°C = 298 K.

Suche: w* = ? Frau–1

Gl. anwenden. (3.39):

w* = [ (9,8 m·s–2)·(1000m)·(0,67 K·m·s–1)/(298K)]1 3 = 2,8 m·s–1

Prüfen: Physik und Einheiten sind angemessen.

Exposition: Über Land steigt an heißen Sonnentagen eine warme, schwimmfähige Thermik oft mit einer Geschwindigkeit in der Größenordnung der Deardorff-Geschwindigkeit auf.

Dem durchschnittlichen Wind überlagert sind etwas zufällig schnellere und langsamere Böen. Dies Turbulenz wurde ausgelöst durch Wirbel in der Luft, die ständig erschaffen, sich verändern und sterben. Sie existieren als Überlagerung vieler Wirbel unterschiedlicher Größe (3 mm bis 3 km). Ein Wirbel könnte einen kalten Luftfleck aus einer beliebigen festen Eulerschen Region bewegen, aber ein anderer Wirbel könnte wärmere Luft in dieselbe Region bewegen. Obwohl wir nicht versuchen, die von jedem einzelnen Wirbel transportierte Wärme vorherzusagen (eine überwältigende Aufgabe), versuchen wir stattdessen, den von allen Wirbeln verursachten Netto-Wärmefluss abzuschätzen. Wir greifen nämlich auf eine statistische Beschreibung der Turbulenzwirkungen zurück.

Turbulenzen in der Luft sind vergleichbar mit Turbulenzen in Ihrer Teetasse, wenn Sie sie umrühren. Turbulenzen neigen nämlich dazu, alle Bestandteile zu einer einheitlichen homogenen Mischung zu vermischen. In der Atmosphäre homogenisiert die Mischung einzelne Variablen wie potentielle Temperatur, Feuchtigkeit und Impuls (Wind). Die Mischgeschwindigkeit hängt von der Stärke der Turbulenz ab, die räumlich und zeitlich variieren kann. Wir konzentrieren uns hier auf das Mischen von Wärme (potentielle Temperatur).

3.5.4.1. Schönwetter (kein Gewitter)

In einer turbulenten atmosphärischen Grenzschicht (ABL) können Tagesturbulenzen durch konvektive Thermik Wärme von der sonnenerwärmten Erdoberfläche transportieren und diese mehr oder weniger gleichmäßig über die ABL-Tiefe verteilen. Die resultierenden turbulenten Wärmeströme nehmen linear mit der Höhe ab, wie durch die dicke grüne Linie in Abbildung 3.7d dargestellt. Diese Linie hat am unteren Rand der ABL einen Wert, der durch den effektiven Oberflächenfluss (Fz unten = Fh) und hat oben einen Wert von (Fz oben –0,2·Fh) an weniger windigen Tagen. Somit lautet der Flussdivergenzterm für Turbulenz (bei sonnigem Schönwetter, im Bereich 0 < z < zi ):

( egin{align}frac{Updelta F_{z urb}}{Updelta z} approx frac{F_{z op}-F_{z bottom}}{z_{i}} ag{3.40}end{ausrichten})

( egin{align}frac{Updelta F_{z urb}}{Updelta z} approx frac{-1.2 cdot F_{H}}{z_{i}} ag{3.41} end{ausrichten})

für eine ABL-Tiefe zi von 0,2 bis 3 km.

Wenn keine Gewitterwolken vorhanden sind, ist die Luft bei z > zich ist tagsüber oft nicht turbulent:

( egin{align}frac{Delta F_{z turb}}{Delta z} approx 0 quad über mathrm{ABL} ext{top; für Schönwetter} ag{ 3.42}end{ausrichten})

In klaren Nächten mit schönem Wetter können die Turbulenzen in den meisten der unteren 3 km der Troposphäre sehr gering sein, außer in den untersten 100 m, wo Windscherungen noch gelegentlich Turbulenzen erzeugen können.

Beispielanwendung

Wie hoch ist der Wert der vertikalen Flussdivergenz für diese ruhige, sonnige ABL anhand der Beispielanwendung oben auf der vorherigen Seite?

Finde die Antwort

Gegeben: Fh = 0,83 K·m·s–1, zich = 3000m

Suche: ∆Fz turb/∆z = ? (K s–1)

Gl. anwenden. (3.41):

(egin{ausgerichtet} frac{Delta F_{z} operatorname{turb}}{Delta z} & approx frac{-1.2 cdot F_{H}}{z_{i}} frac{Updelta F_{z} operatorname{turb}}{Updelta z} & approx frac{-1,2 cdot(0,83mathrm{K}cdotmathrm{m} / mathrm{s} )}{3000 mathrm{m}} &=-0,000332 mathrm{K} cdot mathrm{s}^{-1} end{ausgerichtet})

Prüfen: Physik und Einheiten sind vernünftig.

Exposition: Rückruf aus Gl. (3.17) dass ein negativer vertikaler Gradient mit der Zeit eine positive Erwärmung ergibt – passend für einen sonnigen Tag. Die Erwärmung beträgt ca. 1,2 °C/h. Sie können diese Erwärmungsrate an einem heißen sonnigen Tag über 10 Stunden erleben.

3.5.4.2. Stürmisches Wetter

Manchmal kann die horizontale Advektion warme Luft unter kältere Luft bewegen. Dadurch wird die Atmosphäre statisch instabil und es können Gewitter entstehen. Diese Stürme versuchen, die Instabilität aufzuheben, indem sie die Luft umkippen – so dass die warme Luft aufsteigen und die kalte Luft sinken kann. Aber das Ergebnis ist so heftig turbulent, dass auch viel durchmischt wird. Das Endergebnis kann manchmal eine Atmosphäre mit einem vertikalen Gradienten nahe dem der Standardatmosphäre sein, wie in Kapitel 1 diskutiert wurde feuchte konvektive Anpassung, um die anfängliche weniger stabile Stornorate auf eine stabilere anzupassen.

Das Standard atmosphärische Zeitrafferrate sa = –∆T/∆z ) beträgt 6,5 K km–1. Angenommen, die anfängliche Stornorate vor der Entstehung des Gewitters beträgt Γps (= –∆T/∆z). Der Wärmestrom, der während einer Sturmlebensdauer von ∆t (≈1 h) benötigt wird, um die warme Luft nach oben und die kalte Luft nach unten zu bewegen, beträgt:

( egin{align}frac{Updelta F_{z urb}}{Updelta z} approx frac{z_{T}}{Updelta t} cdotleft[Gamma_{ps} -Gamma_{sa} ight] cdotleft(frac{1}{2}-frac{z}{z_{T}} ight) ag{3.43}end{align})

wobei die Troposphärentiefe z . istT (≈11 km). Eine anfänglich instabile Umgebung ergibt einen positiven Wert für den in eckigen Klammern eingeschlossenen Faktor.

Da Gewitterbewegungen nicht unter die Erde eindringen und kein Fluss oberhalb der Sturmspitze angenommen wird, muss der vertikale turbulente Wärmefluss sowohl am oberen als auch am unteren Rand der Troposphäre Null sein, wie in Abbildung 3.8 skizziert. Die parabolische Form der Wärmestromkurve hat einen Maximalwert von:

( egin{align}F_{max}=z_{T}^{2} cdotleft[Gamma_{ps}-Gamma_{sa} ight] /(8 cdot Updelta t) ag{3.44}end{ausrichten})

Das Gewitter beeinflusst auch den Wärmehaushalt durch Erwärmung in allen Gewitterhöhen, in denen die Kondensation die Verdunstung übersteigt. Eine Abkühlung an der Gewitterspitze kann durch IR-Strahlung von der Ambosswolke bis ins All verursacht werden. Diese Heiz- und Kühleffekte sollten zu der durch Turbulenzen verursachten Wärmeumverteilung (Wärme wird von unten nach oben bewegt) hinzugefügt werden.

Bisher haben wir uns auf vertikale Flussgradienten und die damit verbundene Erwärmung oder Abkühlung konzentriert. Turbulenzen können Luft auch horizontal mischen, aber der horizontale Netto-Wärmetransport ist sowohl bei schönem als auch bei stürmischem Wetter oft vernachlässigbar klein, weil sich die Hintergrundtemperatur mit der Entfernung in der Horizontalen so allmählich ändert. Somit ist an allen Standorten eine vernünftige Näherung:

( egin{align} frac{Updelta F_{x urb}}{Updelta x} approx frac{Updelta F_{y urb}}{Updelta y} approx 0 ag{ 3.45}end{ausrichten})

An Orten ohne Turbulenz kann auch kein turbulenter Wärmetransport stattfinden.

Beispielanwendung

Angenommen, eine Umgebung vor dem Sturm hat eine Temperaturüberschreitungsrate von 9 °C km–1. a) Was ist der maximale Wert des vertikalen Wärmeflusses in der Nähe der Mitte der Troposphäre während einer Sturmlebensdauer? b) Berechnen Sie den vertikalen Flussgradienten in 1 km Höhe aufgrund des Sturms.

Finde die Antwort

Gegeben: Γps = 9 Kkm–1,

Suche: (a) Fmax = ? K·m s–1 (b) ∆Fz turb/∆z = ? (K s–1)

Angenommen: Γsa = 6,5 Kkm–1, Lebensdauer = ∆t = 1 h = 3600 s, zT = 11km,

(a) Wenden Sie Gl. (3.44):

Fmax =(11.000m)·(11km)·[(9–6,5)(K km–1)]/[8·(3600s)] = 10,5 km·s–1

(b) Wenden Sie Gl. (3.43):

(frac{Updelta F_{z urb}}{Updelta z} approx frac{z_{T}}{Updelta t} cdotleft[Gamma_{ps}-Gamma_{sa} ight] cdotleft(frac{1}{2}-frac{z}{z_{T}} ight))
(frac{Updelta F_{z urb}}{Updelta z} approx frac{11mathrm{km}}{3600mathrm{s}} cdotleft[(9-6.5) frac{mathrm{K}}{mathrm{km}} ight] cdotleft(frac{1}{2}-frac{1 mathrm{km}}{11 mathrm{km}} Rechts))
(Updelta F_{z urb} / Updelta z=0,0031mathrm{K}mathrm{s}^{-1})

Prüfen: Physik und Einheiten sind vernünftig.

Exposition: Die Größe des maximalen Wärmestroms aufgrund von Gewittern ist viel größer als der Wärmestrom aufgrund von Thermik bei Schönwetter. Gewitter bewegen große Wärmemengen in der Troposphäre nach oben.

Basierend auf Abbildung 3.8 würden wir erwarten, dass Sturmturbulenzen die untere Hälfte der stürmischen Atmosphäre abkühlen sollten. Tatsächlich ist das Minuszeichen in Gl. (3.17) in Kombination mit dem positiven Vorzeichen der obigen Antwort (b) ergibt die erwartete Abkühlung, nicht die Erwärmung.

Wir unterteilen dieses Thema in kurzwellige (Solar) und langwellige (IR) Strahlung. Klare Luft ist meistens durchlässig für Sonnenstrahlung. Somit ist die Menge an kurzwelliger Strahlung, die in ein Luftvolumen eindringt, fast gleich der Menge, die austritt. Kein Flussgradient bedeutet, dass Sie in guter Näherung die direkte solare Erwärmung der Luft vernachlässigen können. An der Erdoberfläche wird jedoch Sonnenlicht absorbiert, was, wie bereits erwähnt, Oberflächenwärmeströme verursacht. Sonnenlicht wird auch in Wolken oder Rauch absorbiert, was eine Erwärmung verursachen kann.

IR-Strahlung ist komplexer, weil Luft einen großen Teil der in ein festes Volumen einströmenden IR-Strahlung stark absorbiert und IR-Strahlung in alle Richtungen nach außen abstrahlt. Die Strahlungsemission hängt mit T . zusammen4, nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz. In horizontalen Richtungen mit schwachen Temperaturgradienten ist die Strahlungsflussdivergenz vernachlässigbar klein:

( egin{ausrichten}frac{Updelta F_{x ad}}{Updelta x} approx frac{Updelta F_{y ad}}{Updelta y} approx 0 ag{ 3.46}end{ausrichten})

Denken Sie jedoch daran, dass die Temperatur in der Vertikalen mit zunehmender Höhe abnimmt. Daher würde mehr Strahlung von der wärmeren Luft in der unteren Troposphäre nach oben verloren gehen, als von der kälteren Luft in der Höhe nach unten zurückgegeben wird, was eine Nettokühlung verursacht.

( egin{ausrichten}frac{Updelta F_{z ad}}{Updelta z} approx 0,1 bis 0,2 (mathrm{K} / mathrm{h}) ag{3,47 }end{ausrichten})

EINE WISSENSCHAFTLICHE PERSPEKTIVE • Experte vs. Anfänger

Fachkundige Wissenschaftler und Ingenieure lösen häufig Probleme, organisieren Wissen und nehmen Strukturen anders wahr als Studenten und andere Anfänger.

Probleme lösenAnfängerExperte
... ist ...eine Rückrufaufgabeein Prozess
... beginnt mit ...Jagd nach „der Gleichung“qualitative Analyse
... verwendet eine Klassifizierung basierend auf ...Oberflächeneigenschaftentiefe Struktur
...zu den Werkzeugen gehören ..."Die gleichung"Graphen, Grenzwerte, Diagramme, Erhaltungssätze, Einheiten, ...
Wissen organisierenAnfängerExperte
Gedächtnisabruf ist...stückweisemüheloses Abrufen relevanter gesammelter Fakten
Begründung durch...voreilige, unbegründete Schlüsse ziehenschneller mentaler Scan durch eine Kette von Möglichkeiten
Widersprüchliche Daten, Ideen und Schlussfolgerungen sind...nicht wiedererkannterkannt, was darauf hindeutet, dass weitere Informationen erforderlich sind
Verwandte Ideen sind...als separate Fakten auswendig gelernteingebunden in ein stimmiges Gesamtbild
StrukturwahrnehmungAnfängerExperte
Hinweise auf die Struktur sind ...verpassterkannt und neue Gedankengänge auslösen
Unterschiedliche Fälle sind...getrennt nach Oberflächenmerkmalen klassifizierterkannt, dass sie die gleiche zugrunde liegende Struktur haben
Aufgaben werden ausgeführt...bevor du über die Organisation nachdenkstnachdem die Daten organisiert wurden, um eine Struktur zu finden
Theorien, die nicht mit Daten übereinstimmen ...werden ohne Revision verwendetIdeen identifizieren, die für eine Überarbeitung reif sind

(Paraphrasiert von Wendy Adams, Carl Wieman, Dan Schwartz und Kathleen Harper.)

Angenommen, mkondensierend Kilogramm Wasserdampf im Sturm kondensiert zu Flüssigkeitströpfchen und verdunstet nicht wieder. Es würde L freigebenv·∆mkondensierend Joule latente Wärme. Wird diese Erwärmung vertikal über das ganze Gewitter verteilt (eine grobe Vereinfachung) der Luftmasse mLuft, dann ist die Heizung:

( egin{align} frac{Updelta S o}{C_{p} cdot Updelta t}=frac{L_{v}}{C_{p}} cdot frac{Updelta m_ { ext {Kondensieren}}}{m_{ ext {Luft}} cdot Delta t} ag{3.48}end{align})

Da diese Erwärmung keinen Wärmefluss über die Sturmgrenzen hinweg erfordert, definieren wir sie als „Quellterm“ innerhalb des Gewitters. Ein umgekehrter Fall von existierenden schwebenden Wolkentröpfchen, die verdampfen, würde die gleiche Gleichung ergeben, jedoch mit entgegengesetztem Vorzeichen wie die Nettoabkühlung anzeigt.

Bei einem echten Gewitter kann ein Teil des zunächst zu Wolkentröpfchen kondensierten Wasserdampfs später verdunsten. Aber jeder Niederschlag, der den Boden erreicht, stellt Kondensat dar, das nicht wieder verdunstet ist. Daher können wir Niederschlagsrate (RR), um die interne latente Erwärmungsrate abzuschätzen:

( egin{align}frac{Updelta S o}{C_{p} cdot Updelta t}=frac{L_{v}}{C_{p}} cdot frac{ ho_{ liq}}{ ho_{air}} cdot frac{RR}{z_{T rop}} ag{3.49}end{align})

wobei angenommen wird, dass der Sturm eine Säule troposphärischer Luft der Tiefe z . fülltTrop, Flüssig-Wasser-Dichte ist ρflüssig = 1000 kg·m–3, das Verhältnis von latenter Wärme zu spezifischer Wärme ist Lv/CP = 2500 K·kgLuft·kgflüssig–1, und die spaltengemittelte Luftdichte ist ρLuft = 0,689 kg·m–3 für zTrop = 11km.

Combining some of the values in eq. (3.49) gives:

( egin{align}frac{Delta S o}{C_{p} cdot Delta t}=a cdot R R ag{3.50}end{align})

where a = 0.33 K (mm of rain)–1, and RR has units [(mm of rain) s–1]. Divide by 3600 for RR in mm h–1.

You can insert the flux-gradient approximations from the previous subsections into eqs. (3.17 or 3.18) for the first law of thermo. Although the result looks complicated, you can simplify it by assuming the following are negligible within a fixed air volume: (1) vertical temperature advection by the mean wind; (2) horizontal turbulent heat transport; (3) molecular conduction; (4) short-wave heating of the air; (5) constant IR cooling.

You then get the following approximate Eulerian net heat-budget equation:

( egin{align}frac{Delta T}{Delta t}|_{x, y, z} &=-left[U cdot frac{Delta T}{Delta x}+V cdot frac{Delta T}{Delta y} ight]-0.1 frac{mathrm{K}}{mathrm{h}}-frac{Delta F_{z turb}( heta)}{Delta z}+frac{L_{v}}{C_{p}} cdot frac{Delta m_{ ext {condensing}}}{m_{ ext {air}} cdot Delta t} ag{3.51}end{align})
( advection radiation turbulence latent heat)

Later in this book you will see similar budget equations for other variables such as water vapor or momentum. In the turbulence term above, the (θ) indicates that this term is for Wärme flux divergence. Any of the terms on the right-hand side can be zero if the process it represents (advection, radiation, turbulence, condensation) is not active.

The net heat budget is important because you can use it to forecast air temperature at any altitude. Or, if you already know how the air temperature changes with time, you can use the net heat budget to see which processes are most important in causing this change.

The net heat budget applies to a volume of air having a finite mass. For the special case of the Earth’s surface (infinitesimally thin; having no mass), you can write a simplified heat budget, as described next.

Beispielanwendung

Suppose a thunderstorm rains at rate 4 mm h–1. What is the average heating rate in the troposphere?

Finde die Antwort

Given: RR = 4 mm·h–1.

Find: ∆SÖ/(CP·∆t) = ? K·h–1

Gl. anwenden. (3.50): ∆SÖ/(CP·∆t) = 0.33 (K mm–1)· (4 mm h–1) = 1.32 K·h–1

Prüfen: Physik und Einheiten sind vernünftig.

Exposition: For fixed Eulerian volumes losing liquid water as precipitation, this heating rate is significant.

Beispielanwendung

For a fixed Eulerian volume, what temperature increase occurs in 2 h if ∆mcond/mLuft = 1 gWasser kgLuft–1, FH sfc = 0.25 K·m·s–1 into a 1 km thick boundary layer, U = 0, V = 10 m s–1, and ∆T/∆y = –2°C/100 km. Hint, approximate Lv/CP ≈ 2.5 K (gwater kgLuft–1)–1.

Finde die Antwort

Given: (see above)

Find: ∆T = ? °C over a 2 hour period

For each term in eq. (3.51), multiply by ∆t:

(egin{aligned} ext { Lat.Heat_Source } cdot Delta t=left(2.5 frac{mathrm{K} cdot mathrm{kg}_{ ext {air }}}{mathrm{g}_{ ext {water }}} ight) cdotleft(1 frac{mathrm{g}_{ ext {water }}}{mathrm{kg}_{ ext {air }}} ight) = + 2.5^{circ} mathrm{C} end{aligned})

Turb (cdot Delta t=-frac{-1.2 cdot(0.25 mathrm{K} cdot mathrm{m} / mathrm{s})}{1000 mathrm{m}} cdot(7200 mathrm{s})=+ 2.16^{circ} mathrm{C})

Adv (cdot Delta t=-left[(10 mathrm{m} / mathrm{s}) cdotleft(frac{-2^{circ} mathrm{C}}{100000 mathrm{m}} ight) ight] cdot(7200 mathrm{s})=+ 1.44^{circ} mathrm{C})

Rad (cdot Delta t=left(-0.1 frac{mathrm{K}}{mathrm{h}} ight) cdot(2 mathrm{h}) quad=-0.2^{circ} mathrm{C})

Combining all the terms gives:

∆T = (Latent + Turb + Adv + Rad) = (2.5 + 2.16 + 1.44 – 0.2)°C = 5.9 °C over 2 hours.

Prüfen: Physik und Einheiten sind vernünftig.

Exposition: For this contrived example, all the terms (except advection in the x direction) were important. Many of these terms can be estimated by looking at weather maps. For example, cloudy conditions might shade the sun during daytime and reduce the surface heat flux. These same clouds can trap IR radiation, causing the net radiative loss to be near zero below cloud base. But if there are no clouds (i.e., no condensation) and no falling precipitation that evaporates on the way down, then the latent-heating term would be zero.

So there is no fixed answer for the Eulerian heat budget — it varies as the weather varies.


The 10 Best Self-Defense Knives

As you likely already know, we believe that knives are, first and foremost, tools to be used to help you make it through a wide variety of utilitarian tasks. And they’re something we believe that, within reason, everyone should carry with them at all times. But, as we all know, bladed tools can also be used for self-defense purposes under the right (or wrong) circumstances.

While we’d never wish for anyone to find themselves in dire circumstances that would require such action, there’s no denying the combat potential of mankind’s oldest tool. Of course, some of these pieces of gear are better for the task than others. As such, we’ve rounded up what we believe are the ten best self-defense knives you can currently buy.

Photo: Gerber Ghoststrike

Gas Electric Packaged Systems

In the summer, your gas electric packaged system works as a high-efficiency air conditioner. In the winter, it’s a high-heat gas furnace.

Heat Pump Packaged Systems

Designed for efficient heating and air conditioning, packaged heat pumps provide complete home comfort in every season.

EarthWise Hybrid Dual Fuel Packaged Systems

These dual systems are a combination heat pump and gas furnace, making them the ultimate in efficiency. The unit’s electric heat pump cools and dehumidifies your home, and its gas furnace heats your home during cold temperatures.

Air Conditioner Packaged Systems

The air conditioner packaged systems are a great option if you don't have a split system. These systems offer options for humidity control, so they’re great for homes in warmer regions.

Packaged HVAC systems have it all

Trane packaged HVAC systems are available in many of the same matchups as split systems. No matter which configuration you choose, you can count on quiet operation and year-round comfort. Packaged systems are compact, so they’re ideal for homes with limited space. They can be placed outside at ground level or on your rooftop. For help choosing between packaged AC units, packaged heat pumps, gas/electric systems and more, connect with a local Trane specialist. Select Packaged Systems are compatible with Trane CleanEffects™ Air Cleaner whole home air cleaner. CleanEffects™ is certified asthma & allergy friendly® by the Asthma and Allergy Foundation of America.


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I purchased a High End Seer Unit through my contractor 5 summers ago. I was under construction and forgot to send in my warranty. After 5 seasons and spending thousands of dollars for this unit I had to replace a motor for $900. Because I did not mail in my warranty I was covered for only 5 years. If the warranty was sent it 10 years. This is a game. I understand there are rules but the company knows exactly when my unit was purchase and to me this is a game to the consumer. Lastly they Rheem should stand behind their product. My advice do not purchase anything from this company. If anything they should have offered something to help offset the $900 I had to spend. Rules are made to be broken.

We have a legitimate warranty related issue. We had a leak due to a failed weld which a certified Rheem tech repaired. We paid the tech and then looked into filing a warranty which any consumer would do. We were told you don't cover freon or repairs only parts? That is just silly. You have a factory weld break in the first year and this is not a warranty related issue. We are going to need you to say that in writing. We are sick of the runaround and feel Rheem has not done their part. We, like many consumers have had issues with an installer. We still have units in our homes which require warranty service and your warranty should transfer from vendor to vendor. Our system had a catastrophic failure at 9 months and lost all its coolant. Cost for the repair was not cheap and exceeds $1119! Bitte beraten.

Vielen Dank, Sie haben unseren Newsletter erfolgreich abonniert! Viel Spaß beim Lesen unserer Tipps und Empfehlungen.

Installed in May of 2018. Ran until Early spring 2020, TDX valve ruptured and loss of all freon. I had to pay for labor and freon - about $800. Ran until early spring this year 2021. Same issue except this time Rheem refuses to honor warranty. Tech advised nearly all of this model installed in last 4 years has failed with either bad coils or this TDX valve. Rheem stopped honoring their 10 year warranties late last year on these models. So in 2018 I paid 7500 for new unit and coil, and 2022 I am having to fork out another 7500 to get another unit. American Standard this time. Also the company I used who is a recognized Rheem dealer, has dropped Rheem from their inventory. Buyer Beware.

New 5 ton Rheem installed 2018. Turned on for spring 2021, called installer, coil corroded at bottom and freon leaked out. Coil under warranty. Must pay for labor and freon. Estimate $650. Did not know Rheem had coil issues or would have never purchased! Will not purchase another Rheem product.

We purchased a home in Florida 10 yrs ago for when we retired. We purchased a brand new complete Rheem AC unit from Heavenly Air in our town in 2012. We were told they would register it and we would have a 10 year warranty. We finally retired and moved in last fall. So actually the unit was never used on a yearly basis, just while we were here for 2 week vacations twice a year. It was set for 85 degrees any other time. The unit stopped throwing cold air. We called Heavenly Air. Yup, out of business and the company that took over will was no help. We called an air conditioner service they said 1200.00 to replace the coil. They reached out to Rheem, Rheem said it was never registered. I don’t have proof as I trusted Heavenly Air. The original manufacturing date sticker on the unit proves it's not even 10 yrs old. So, please consider this if you are thinking about purchasing a Rheem system.

Every time I leave for over the road, I come back house is cold, when it warms up, I shut it off, then need heat and nothing, it's always sensors, gas valve sticks. The furnace gets new filter every month, dust out top of furnace, and plagued with issues, oh and the air conditioner, when it cycles off sounds like it gears are being stripped. That's normal after a year of whinnying, Never again will I buy Rheem. 96% efficiency my butt. My hydro goes up while I wait for repair guy.

Compressor on my Rheem unit serial # 7842W281100514 failed 9 years into a 10 year warranty. Oil leaked from compressor into lines destroying entire system. coil, condenser, transfer lines. Got 2 estimates to replace and both were appx $5500. Rheem said they would give me $570 only to compensate for their faulty compressor but after spending half of summer 2020 with no a/c whatsoever, and countless hours on the phone with two different Reps, I have received nothing. Comically, the last correspondence I received was a rep explaining I'd receive the $570 after I paid the installer in full myself. When I questioned this and asked how this would be done procedurally, they went dark. have not heard from them in months. I have literally spent 20-25 hours trying to recoup their measly $570 offer. At this point, I do not want another Rheem system and am pursuing alternatives.

Less than a year ago, I had two brand-new Rheem heat pumps installed to the tune of $16,000. One of these units had a factory defect which resulted in nearly $1,600 in electric overages (as the defect made it so that our home was unknowingly running on the ‘emergency heat’ setting for two months). As soon as I realized that something was amiss, I contacted the company – where their customer service agent led me to believe that such charges would be reimbursed provided it was deemed a defective part. HOWEVER, given the situation with COVID, she also informed me that unfortunately no agents would be able to do a home visit – and therefore the defect could not be verified.

After reaching out to the HVAC installation crew, they were able to connect directly with Rheem and arrange for agents to come take a look. From my first contact, to the date of that visit, was 14 days. With a two-month old infant in our home, it was not an option to forgo heat during this time… and I shared my concerns with the customer service agent that with each passing day, we were accruing $30 in additional heating expenses.

When representatives were sent – presumably as ‘damage control’ their conduct was unprofessional and abhorrent. Unbelievably rude and condescending to the HVAC technician (who had been nothing but kind and solution-oriented), one agent told the technician he needed to “teach him a lesson.” As a business owner myself, this is not acceptable behavior for anyone working on behalf of the company– much less, in a customer-facing position. I felt bad for the technician who was demeaned in the presence of customers as the Rheem rep arrogantly passed the onus of responsibility onto him.

Prior to selecting these heating units, I did ample research. I decided upon Rheem because of their strong reputation and quality products. It is unconscionable to me that in these unprecedented times, there has yet to be any sort of restitution for expenses incurred as a result of a FACTORY DEFECT. Simply replacing the unit is not satisfactory… that is a given, as the product (at less than a year old) is still well under warranty. Reimbursement for the time spent with a faulty product that, once identified, wasn’t even replaced in a timely manner should be a given.

In good faith, I have been beyond patient in awaiting resolution. Again, as per my initial conversation with Rheem’s customer service agent, my burden of proof was met. Curiously, when I requested full transcripts of those phone calls to verify what had been communicated to me, Rheem avoided providing said documents. Instead, I was provided with a copy of the warranty and an accompanying letter from the supervisor stating that there is "no accommodation for utility charges" (despite this being explicitly stated nowhere within the warranty he himself provided). So basically, their faulty product, and the subsequent delay ran up my electric bill, and they see themselves as being at no fault for the issue, or their slow response (during which I continued to be charged at the emergency rates). Not to mention, the time I had to take off work to deal with this mess between phone calls and the visits with technicians and reps.

Never in my life have I written a negative review. and yet I find myself compelled to do so as I feel so wronged. All in all, this experience has been a failure at every turn of the road, and months on, I am still awaiting an appropriate response and the compensation which they have previously acknowledged I am due, given the factory defect. Their products (when not defective) may well be great. However, in my experience, they are unwilling to stand behind them in moments where it counts.


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Location allocation modeling for healthcare facility planning in Malaysia

Malaysia has seen tremendous growth in the standard of living and household per capita income. The demand for a more systematic and efficient planning has become increasingly more important, one of the keys to achieving a high standard in healthcare. In this paper, a Maximal Covering Location Problem (MCLP) is used to study the healthcare facilities of one of the districts in Malaysia. We address the limited capacity of the facilities and the problem is formulated as Capacitated MCLP (CMCLP). We propose a new solution approach based on genetic algorithm to examine the percentage of coverage of the existing facilities within the allowable distance specified/targeted by Malaysian government. The algorithm was shown to generate good results when compared to results obtained using CPLEX version 12.2 on a medium size problem consisting of 179 nodes network. The algorithm was extended to solve larger network consisting of 809 nodes where CPLEX failed to produce non-trivial solutions. We show that the proposed solution approach produces significant results in determining good locations for the facility such that the population coverage is maximized.

Höhepunkte

► We use the Maximal Covering Location Problem (MCLP) to study healthcare facilities. ► A genetic algorithm based solution to examine the coverage percentage is proposed. ► The proposed solution produces significant result in determining the locations. ► The scenario of effect of population growth to health delivery system is included.


HVAC installation cost breakdown

New system installation costs vary depending on factors such as your equipment and home. Local demand will influence hourly rates charged by HVAC specialists. On average, you can expect your HVAC installation costs to fall in the ranges below (note – these averages don’t include equipment cost):

  • Gas furnace installation: $1,800 to $4,000
  • Electric furnace installation: $1,700 to $2,500
  • Oil furnace installation: $4,600 to $6,900
  • Air-source heat pump installation: $2,900 to $6,000
  • Geothermal heat pump installation: $3,400 to $13,000
  • Air conditioner installation: $1,800 to $10,500
  • Ductless HVAC installation: $300 to $1,500

Gas Furnace Repair Costs

Fixing a broken gas furnace is a job best left to a qualified HVAC technician. Once you get past return air filters and the thermostat, you will likely need specialized tools and the correct furnace manuals to understand diagnostic codes and troubleshooting procedures for your specific brand of your furnace.

Most furnace repair companies work from a flat rate repair cost book, or use a factor of parts + labor , to determine the price you pay for the furnace repair. There are good and bad about both pricing methods, and the industry mix is relatively equally split. The gas furnace parts only cost is based on what you could buy the part for yourself, if you were to handle all troubleshooting, track down the part, and complete the repair 100% on your own. The install time is based on the approximate time it would take a professionally trained technician to diagnosis, remove & replace, and confirm the gas furnace being in good working condition. The total cost of parts installed in the third column, includes all parts and labor, including the service call cost.

Note: If your gas furnace is more than 8-10 years old, or the total cost of the service call and your repair is more than $750, you should always ask for a full replacement estimate, and always get a second opinion if you have the ability to do so. If you would like free quotes from qualified local contractors, click here. Partners in our system are qualified, local to you, and ready to provide competitive pricing quotes.